예전에 제 블로그에 올렸던 23년 6월 고3모의고사 미적분 28번 풀이입니다. '첫 단계는 간단합니다. 모양 상 x에 0 과 2를 대입해서 변변 빼주면 바로 f(0)과 f(2)를 구할 수 있거든요. 여기까지가 ㄱ입니다. 이 문제를 시도했던 학생들은 대부분 여기까지는 도달했을거라고 봅니다. 그런데 여기서 막히죠 보통. 미분가능 조건이 없어서 양변미분도 못하고, 연속조건은 어떻게 써야하는지도 모르겠고, 그러면 양변 적분을 해야하는건가... 하다가 양변에 1을 더해주면 완전제곱식이 된다는게 눈에 들어옵니다. 그리고 좌변이 완전제곱식이니까 우변도 0보다 크거나 같습니다. 여기까지가 ㄴ입니다.(사실 다시 보면 굳이 제곱식으로 변형안해도 풀리지만, 익숙한게 좋은거죠) 그러면 이렇게 생각해볼 수 있죠. f(x)를 -1로 만드는 x값이 존재한다면 우변의 최소값은 0이 아닐까하고요. 그리고 여기서 사이값정리가 사용됩니다. f(x)가 연속이고 f(0)과 f(2)사이에 -1이 존재하니까, 0과 2사이 어딘가에서 f(x)의 값이 -1이 될겁니다. 따라서 우변의 최소값은 0입니다. ㄷ은 우변의 최소값을 구하는 과정입니다. 삼각함수를 적당히 치환하고 미분해보니 주어진 범위안에서 도함수가 0보다 크거나 같습니다. 따라서 증가함수가 되어 우변은 t = -1일 때 최소값 0을 가집니다. t에 -1 대입하고 0이라고 놓으니 a와 b에 대한 식이 하나 더 나오네요. 연립하면 끝! 유튜브 찾아보니 대부분 선생님들이 대칭성을 이용해서 푸셨던데, 대부분 풀이에 문제가 있어보이기는 하더군요. 예를 들면 이런겁니다. 'f(x)는 x 또는 cosx이고, 연속인 함수이다'라면 f(x)는 계속 x 이거나 cosx일 수도 있지만 교점에서 두 함수가 섞일 수도 있습니다. 그래서 교점들을 찾아서 경우를 나눠서 풀어야하죠. 이 문제의 경우도 마찬가지였습니다. 점대칭이거나 선대칭이거나 둘 중의 하나가 아니라, 교점에서 섞일 가능성을 따져봤어야 했다는 이야기입니다. 그리고 이렇게 따져서 푸는 것 보다는 제가 푼 것처럼 사이값정리 사용하는게 쉽고 간단한 것 같습니다.'